Question

【题目】如图，在ABCD中，AB=4，AD=5，tanA=，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向中点C运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AD﹣DC于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，连接QR．设△PQR与ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）当点R与点B重合时，求t的值；

（2）当点P在BC边上运动时，求线段PQ的长（用含有t的代数式表示）；

（3）当点R落在ABCD的外部时，求S与t的函数关系式；

（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（9﹣t）；（3）①S =﹣t2+t﹣；②S=﹣t2+8．③S=（9﹣t）2;（4）4或或5或．

【解析】

（1）根据题意点R与点B重合时t+t=4，即可求出t的值；

（2）根据题意运用t表示出PQ即可；

（3）当点R落在□ABCD的外部时可得出t的取值范围，再根据等量关系列出函数关系式；

（4）根据等腰三角形的性质即可得出结论.

解：（1）∵将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，

∴PQ=PR，∠QPR=90°，

∴△QPR为等腰直角三角形．

当运动时间为t秒时，AP=t，PQ=PQ=APtanA=t．

∵点R与点B重合，

∴AP+PR=t+t=AB=4，

解得：t=．

（2）当点P在BC边上时，4≤t≤9，CP=9﹣t，

∵tanA=，

∴tanC=，sinC=，

∴PQ=CPsinC=（9﹣t）．

（3）①如图1中，当＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．作KM⊥AR于M．

∵△KBR∽△QAR，

∴=，

∴=，

∴KM=（t﹣4）=t﹣，

∴S=S△PQR﹣S△KBR=×（t）2﹣×（t﹣4）（t﹣）=﹣t2+t﹣．

②如图2中，当3＜t≤4时，重叠部分是四边形PQKB．

S=S△PQR﹣S△KBR=×4×4﹣×t×t=﹣t2+8．

③如图3中，当4＜t＜9时，重叠部分是△PQK．

S=S△PQC=××（9﹣t）（9﹣t）=（9﹣t）2．

（4）如图4中，

①当DC=DP1=4时，易知AP1=4，t=4．

②当DC=DP2时，CP2=2CD=，

∴BP2=，

∴t=4+=．

③当CD=CP3时，t=5．

④当CP4=DP4时，CP4=2÷=，

∴t=9﹣=．

综上所述，满足条件的t的值为4或或5或．