Question

已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点△CDE，连接BD。

（1）求证：△ACG∽△DBG；
（2）求证：AC²=AG·AB；
（3）若⊙A，⊙O的直径分别为，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长。

Answer 1

解：（1）在和中，
∵
∴。

（2）连结AD，则
在和中
∵
∴
又∵
∴
∴
即。
（3）连结CE，则
∵与相交于C，D两点
∴圆心O，A在弦CD的垂直平分线上，即AO垂直平分弦CD
∴
∵的直径分别为，15
∴
在和中，∵
∴
∴
即
在中，由勾股定理，得
即
解得（舍去负值）
∵
∴
在中，由勾股定理，得

∴（舍去负值）
由（2），有
即
解得
由（1），有，得
∴。