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9.如图,在平面直角坐标系中,直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;
①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值;
②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)根据题意得到A(-4,0),C(0,2)代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c,于是得到结论;
(2)①如图,令y=0,解方程得到x1=-4,x2=1,求得B(1,0),过D作DM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴交于AC于N,根据相似三角形的性质即可得到结论;
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,求得P(-$\frac{3}{2}$,0),得到PA=PC=PB=$\frac{5}{2}$,过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延线于G,情况一:如图,∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,情况二,∠FDC=2∠BAC,解直角三角形即可得到结论.

解答 解:(1)根据题意得A(-4,0),C(0,2),
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c经过A、C两点,
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}×16-4b+c}\\{2=c}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$,
∴y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2;
(2)①如图,令y=0,
∴-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2=0,
∴x1=-4,x2=1,
∴B(1,0),
过D作DM⊥x轴交AC于点M,过B作BN⊥x轴交于AC于N,
∴DM∥BN,
∴△DME∽△BNE,
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DM}{BN}$,
设D(a,-$\frac{1}{2}$a2-$\frac{3}{2}$a+2),
∴M(a,$\frac{1}{2}$a+2),
∵B(1,0),
∴N(1,$\frac{5}{2}$),
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{DM}{BN}$=$\frac{-\frac{1}{2}{a}^{2}-2a}{\frac{5}{2}}=-\frac{1}{5}$(a+2)2+$\frac{4}{5}$;
∴当a=-2时,$\frac{S_1}{S_2}$的最大值是$\frac{4}{5}$;
②∵A(-4,0),B(1,0),C(0,2),
∴AC=2$\sqrt{5}$,BC=$\sqrt{5}$,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点P,
∴P(-$\frac{3}{2}$,0),
∴PA=PC=PB=$\frac{5}{2}$,
∴∠CPO=2∠BAC,
∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=$\frac{4}{3}$,
过D作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,
情况一:如图,∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,
∴∠CDG=∠BAC,
∴tan∠CDG=tan∠BAC=$\frac{1}{2}$,
即$\frac{RC}{DR}=\frac{1}{2}$,
令D(a,-$\frac{1}{2}$a2-$\frac{3}{2}$a+2),
∴DR=-a,RC=-$\frac{1}{2}$a2-$\frac{3}{2}$a,
∴$\frac{-\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}{-a}=\frac{1}{2}$,
∴a1=0(舍去),a2=-2,
∴xD=-2,
情况二,∴∠FDC=2∠BAC,
∴tan∠FDC=$\frac{4}{3}$,
设FC=4k,
∴DF=3k,DC=5k,
∵tan∠DGC=$\frac{3k}{FG}$=$\frac{1}{2}$,
∴FG=6k,
∴CG=2k,DG=3$\sqrt{5}$k,
∴RC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k,RG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$k,
DR=3$\sqrt{5}$k-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$k=$\frac{11\sqrt{5}}{5}$k,
∴$\frac{DR}{RC}$=$\frac{\frac{11\sqrt{5}}{5}k}{\frac{2\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{-a}{-\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}$,
∴a1=0(舍去),a2=-$\frac{29}{11}$,
点D的横坐标为-2或-$\frac{29}{11}$.

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

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