Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过两点C（-2，5）与D（0，-3），且与x轴相交于A、B两点，其顶点为M．
（1）求b和c的值；
（2）在二次函数图象上是否存在点P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB？若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点D作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象直接写出当m为何值时直线y=x+m与此图象只有两个公共点．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法将点C、点D的坐标代入解析式就可以求出b和c的值，进一步得到抛物线的解析式；
（2）当y=0时，求出抛物线与x轴的交点坐标就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积．设出点P的坐标为（a，b），根据条件S_△PAB=

5

4

S_△MAB建立等量关系就可以求出P点的坐标．
（3）当直线y=x+m（m＜1）经过点D（0，-3）时，可以求出m的一个值；当直线y=x+m与抛物线只有一个交点时，可以求出m的另一个值．

解答：解：（1）∵点C（-2，5）与D（0，-3）在二次函数y=x²+bx+c的图象上，
∴

5=4-2b+c -3=c

，
解得

b=-2 c=-3

．

（2）由（1）可得抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴M（1，-4），
当y=0时，则x^2_-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABM=

4×4

2

=8．
设点P的坐标为（a，a²-2a-3），当点P在x轴的上方时，
∴4（a²-2a-3）×

1

2

=

5

4

×8，
解得：a₁=4，a₂=-2，
∴P（4，5）或（-2，5），
当点P在x轴的下方时的点不存在．
∴P（4，5）或（-2，5）．

（3）当直线y=x+m（m＜1）经过点D（0，-3）时，
∴-3=0+m，
∴m=-3；
当直线y=x+m与抛物线只有一个交点时，x+m=x²-2x-3，即x²-3x-3-m=0，
则△=9+4（3+m）=0，
解得m=-

21

4

．
综上所述，m的值是-3或-

21

4

．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系．