Question

（2013•徐州模拟）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．
（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=

2

5

；
（2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长；
（3）若OM是∠AOB的角平分线，且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ODEF是等腰梯形，易得四边形OABC是平行四边形，由图2可得S_△AOC=8，连接AC交x轴于R点，易得OR=4，由勾股定理可求得OA的值，即m的值；
（2）由OB=2RO=8，AR⊥OB，即可求得B、C两点的坐标，易证得平行四边形OABC是菱形，则可得OF=3OA；
（3）在OB上找一点N使ON=OG，连接NH，易证得△GOH≌△NOH，则可得GH+AH=AH+HN，根据垂线段最短可知：当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点，继而求得答案．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ODEF是等腰梯形，
∴OA=BC且OA∥BC，
∴四边形OABC是平行四边形，
由已知可得：S_△AOC=8，连接AC交x轴于R点，
又∵A（4，2），C（n，-2），
∴S_△AOC=S_△AOR+S_△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8，
∴OR=4，
∴m=OA=

OR2+AR2

=

42+22

=2

5

；
故答案为：2

5

；

（2）∵OB=2RO=8，CR=AR=2，AR⊥OB，
∴B（8，0），C（4，-2）且平行四边形OABC是菱形，
∴OF=3AO=3×2

5

=6

5

；

（3）如图3，在OB上找一点N使ON=OG，连接NH，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
在△GOH和△NOH中，

ON=OG ∠GOH=∠NOH OH=OH

，
∴△GOH≌△NOH（SAS），
∴GH=NH，
∴GH+AH=AH+HN=AN，
根据垂线段最短可知：当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点，
∴GH+AH的最小值为2．

点评：此题等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及最短路径问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键．