Question

5．已知二次函数y=x²+bx+3的图象经过点（3，0）．
（1）求b的值；
（2）求出该二次函数顶点的坐标和对称轴；
（3）在所给的坐标系中画出y=x²+bx+3的图象；
（4）若抛物线y=x²+bx+3与坐标轴均有交点，请求出顺次连接抛物线顶点和抛物线与坐标轴交点构成的四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）把（3，0）代入y=x²+bx+3可解得b的值；
（2）把y=x²-4x+3进行配方得到y=（x-2）²-1，然后根据顶点式写出顶点坐标；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），与y轴的交点坐标为（0，3），与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），然后根据这些特征进行画图．
（4）将四边形ACDB的面积分割成S_△ADB+S_△ABC，利用A，B，C，D的坐标求出面积即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+bx+3的图象经过点（3，0）．
∴9+3b+3=0，
∴b=-4；
（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴二次函数顶点的坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2；
（3）画出函数的图象如图：

（4）令y=0，得0=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=3，
则A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
令x=0，得y=3，故C（0，3），
∵顶点D（2，-1），
S_{四边形ADBC}=S_△ADB+S_△ABC，
=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3
=4，
故四边形ADBC的面积为4．

点评 此题主要考查了二次函数的解析式的求法以及二次函数的图象：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0；抛物线的顶点式为y=a（x-$\frac{b}{2a}$）²+$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，它的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$，顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．