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⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是(  )
A、7cmB、8cmC、7cm或1cmD、1cm
分析:因为AB、CD位置不明确,所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论.
解答:解:本题要分类讨论:
(1)AB,CD在圆心的同侧,如图①,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=
1
2
CD=
1
2
×8=4cm,FB=
1
2
AB=
1
2
×6=3cm,
在Rt△OED中,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
OD2-OE2
=
52-42
=3cm,
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm,则OF=
OB2-FB2
=
52-32
=4cm,
AB和CD的距离=OF-OE=4-3=1cm;
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(2)AB,CD在圆心的异侧,如图②,连接OA、OC,过O作AB的垂线交CD,AB于E、F,
根据垂径定理得ED=
1
2
CD=
1
2
×8=4cm,FB=
1
2
AB=
1
2
×6=3cm,
在Rt△OED中,OD=5cm,ED=4cm,由勾股定理得OE=
OD2-OE2
=
52-42
=3cm,
在Rt△OFB中,OB=5cm,FB=3cm,则OF=
OB2-FB2
=
52-32
=4cm,
AB和CD的距离是OF+OE=4+3=7cm.
AB和CD的距离是7cm或1cm.
故选C.
点评:本题涉及到垂径定理及勾股定理,解题时要注意分类讨论,不要漏解.
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3
7
3或
3
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