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    几何模型：
    条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
    问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
    方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
    模型应用：
    （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是
    		5
    		5
    ；
    （2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
    （3）如图3，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值．
    分析：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得出DE的长；
    （2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，求出A′C的长即可．
    （3）A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．
    解答：解：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，
    ∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，
    ∴AE=1，
    在Rt△ADE中，
    DE=
    		AD2+AE2
    =
    		22+12
    =
    		5
    ，
    则PB+PE的最小值是：
    		5
    ；

    （2）如图2所示：作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，
    ∵∠AOC=60°
    ∴∠A′OC=120°
    作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
    ∵OA′=OA=2
    ∴A′D=
    		3

    ∴A′C=2
    		3
    ；
    故PA+PC的最小值为2
    		3
    ；

    （3）如图3，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
    根据垂径定理，得到BE=
    1
    2
    AB=4，CF=
    1
    2
    CD=3，
    ∴OE=
    		OB2-BE2
    =
    		52-42
    =3，
    OF=
    		OC2-CF2
    =
    		52-32
    =4，
    ∴CH=OE+OF=3+4=7，
    BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
    在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7
    		2
    ，
    则PA+PC的最小值为7
    		2
    ．
    故答案为：
    		5
    ．
    点评：本题考查的是轴对称--最短路线的问题，涉及到正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
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    ；
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读理解题：
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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    		5
    		5
    ；
    （2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值是
    2
    		3
    2
    		3
    ；
    （3）如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

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    科目：初中数学 来源：期中题 题型：解答题

    阅读理解题：【几何模型】
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    （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．求出PB+PE的最小值。（画出示意图，并解答）
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