Question

【题目】在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的“二次对称点”．

　

（1）已知点，直线是经过且平行于轴的一条直线，则点的“二次对称点”的坐标为______；

（2）如图1，直线经过、，点的坐标为．

①点关于轴，直线的“二次对称点”的坐标为______；

②当点在轴上移动，请你在图1中画出它关于轴，直线的“二次对称点”的运动路径．

（3）如图2，是轴上的动点，线段经过点，且点点的坐标分别为，直线经过且与轴负半轴夹角为60°，在点的运动过程中，若线段上存在点，使得点是点关于轴，直线的“二次对称点”，且点在轴上，则点的纵坐标的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）；（2）①（-1，-1）；②见解析；（3）-3＜＜1

【解析】

（1）根据“二次对称点”的概念先算出A关于y轴对称点，再求出该点关于l的点即可；

（2）①求出直线l的解析式，从而根据定义得出结果；

②根据对称的性质可得运动路径是直线，从而求出该直线，画出即可；

（3）根据题意讨论当点N分别与点R和点S重合时，求出点N′的运动路径，再根据点N′在线段RS上得出的最大值和最小值即可.

解：（1）由题意可知：∵A（-1，0），

∴点A关于y轴对称的点A1坐标为（1，0），

∵l是经过（0，2）且平行于轴的一条直线，即y=2，

∴点A关于轴，直线的“二次对称点”坐标为（1，4）；

（2）①∵直线经过、，

设直线l的解析式为y=kx+b，将、，代入

，

解得，

∴直线l的解析式为：y=x+1，

∵点E（2，0），

由题意可得点E关于轴，直线的“二次对称点”为（-1，-1）；

②由关于轴，直线的“二次对称点”的定义可知，

当点E在x轴运动时，点E关于y轴对称的点E1也在x轴上，

而点x轴关于直线l的对称图形为直线x=-1，

∴点E1关于直线l对称点在直线x=-1上，运动轨迹如图：

（3）∵直线经过且与轴正半轴夹角为60°，

如图，直线l与x轴交于点C，与y轴交于点B，

∴∠BCO=60°，

∴BC=2CO，

在△BCO中，BO2+CO2=BC2，BO=1，

解得：CO=，即点C（，0），

结合B（0，1），可求得：直线l的表达式：，

当点N与点R重合， N（t，1），

由题意可知，如图，此时点N′的运动路径为l1，

∵∠CBO=90°-60°=30°，

∴∠N″BO=30°，

∵OB=1，

∴可知l1和l关于y轴对称，

∴l1的表达式为：y=，

与y轴交点为（0，1）；

当点N和点S重合，N（t，-1），

由题意可知，如图，此时点N′的运动路径为l2，且l1∥l2，

设l2的解析式为y=x+b1，

当N′在l1上时，将y=-1代入l1，

解得x=，

此时N′坐标为（，-1），代入l2中，

解得b1=-3，

∴l2的解析式为y=x-3，

∴l2与y轴交点为（0，-3），

由题意可知当点N在线段RS上时，N′的运动轨迹皆为直线，且在l1和l2之间，

综上所述，的取值范围是：-3＜＜1.