【题目】二次函数y=x2的图象如图,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3…An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An﹣1BnAn=60°,菱形A2019B2020A2020C2020的周长为________.
【答案】8080
【解析】
由于△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,都是等边三角形,因此∠B1A0x=30°,可先设出△A0B1A1的边长,然后表示出B1的坐标,代入抛物线的解析式中即可求得△A0B1A1的边长,用同样的方法可求得△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…的边长,然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律,根据菱形的性质易求菱形An1BnAnCn的周长.
∵四边形A0B1A1C1是菱形,∠A0B1A1=60°,
∴△A0B1A1是等边三角形.
设△A0B1A1的边长为m1,则B1的纵坐标为,利用勾股定理求出B1的横坐标为,
∴B(,);
代入抛物线的解析式中得:,
解得m1=0(舍去),m1=1;
故△A0B1A1的边长为1,
设△A1B2A2的边长为m2,则B2的纵坐标为+1,利用勾股定理求出B2的横坐标为,
∴B(,+1);
代入抛物线的解析式中得:,
解得m2=-1(舍去),m2=2;
故△A1B2A2的边长为2,
同理可求得△A2B3A3的边长为3,
…
依此类推,等边△An1BnAn的边长为n,
故菱形An1BnAnCn的周长为4n.
∴菱形A2019B2020A2020C2020的周长为4×2020=8080,
故答案是:8080.
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【题目】如下图所示,在直角坐标系中,以为圆心的与轴相交于两点,与轴相交于两点,连接.
(1)上有一点,使得.求证;
(2)在(1)的结论下,延长到点,连接,若,请证明与相切;
(3)如果,的半径为2,求(2)中直线的解析式.
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【题目】问题呈现
如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点、和、,与相交于点,求的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点、,可得,则,连接,那么就变换到中.
问题解决
(1)直接写出图1中的值为_________;
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,与相交于点,求的值;
思维拓展
(3)如图3,,,点在上,且,延长到,使,连接交的延长线于点,用上述方法构造网格求的度数.
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【题目】将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB,与AC相交于点G,.
(1)求GC的长;
(2)如图2,将△DEF绕点D顺时针旋转,使直角边DF经过点C,另一直角边DE与AC相交于点H,分别过H、C作AB的垂线,垂足分别为M、N,通过观察,猜想MD与ND的数量关系,并验证你的猜想.
(3)在(2)的条件下,将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′,当D′E′恰好经过(1)中的点G时,请直接写出DD′的长度.
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【题目】【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E,若CD=,则图中阴影部分面积为( )
A.4﹣B.2﹣C.2﹣πD.1﹣
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,0),连结AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD交双曲线y═(k≠0)于D、E两点,连结CE,交x轴于点F.
(1)求双曲线y=(k≠0)和直线DE的解析式.
(2)求的面积.
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【题目】如图,在矩形中,,,点为边上的一点(与、不重合)四边形关于直线的对称图形为四边形,延长交与点,记四边形的面积为.
(1)若,求的值;
(2)设,求关于的函数表达式.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,cosB=,点E是BC边上的动点,以C为圆心,CE长为半径作圆C,交AC于F,连接AE,EF.
(1)求AC的长;
(2)当AE与圆C相切时,求弦EF的长;
(3)圆C与线段AD没有公共点时,确定半径CE的取值范围.
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