Question

【题目】如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y． ①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中

，

∴△APB≌△APD（SAS）

（2）解：①∵△APB≌△APD，

∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，

∵在△DFP和△BEP中，

，

∴△DFP≌△BEP（ASA），

∴PF=PE，DF=BE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴GD∥AB，

∴ = ，

∵DF：FA=1：2，

∴ = ， = ，

∴ = ，

∵ = ，即 = ，

∴y= x；

②当x=6时，y= ×6=4，

∴PF=PE=4，DP=PB=6，

∵ = = ，

∴ = ，

解得：FG=5，

故线段FG的长为5

【解析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出 = ， = ，进而得出 = ，即 = ，即可得出答案； ②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出 = = ，求出即可．
【考点精析】关于本题考查的菱形的性质和相似三角形的判定与性质，需要了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．