Question

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

专题：代数几何综合题． 　　分析： 　　(1)利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； 　　(2)利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D； 　　(3)根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△＝0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 　　解答：解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)，点C(4，3)， 　　∴， 　　解得， 　　所以，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3； 　　(2)∵点A、B关于对称轴对称， 　　∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 　　设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 　　则， 　　解得， 　　所以，直线AC的解析式为y＝x－1， 　　∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 　　∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 　　当x＝2时，y＝2－1＝1， 　　∴抛物线对称轴上存在点D(2，1)，使△BCD的周长最小； 　　(3)如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x＋m， 　　联立， 　　消掉y得，x2－5x＋3－m＝0， 　　△＝(－5)2－4×1×(3－m)＝0， 　　即m＝－时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大， 　　此时x＝，y＝－＝－， 　　∴点E的坐标为(，－)， 　　设过点E的直线与x轴交点为F，则F(，0)， 　　∴AF＝－1＝， 　　∵直线AC的解析式为y＝x－1， 　　∴∠CAB＝45°， 　　∴点F到AC的距离为×＝， 　　又∵AC＝＝3， 　　∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为(，－)． 　　点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．

提示：

考点：二次函数综合题．