Question

【题目】综合与实践 问题情境：

综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．

动手操作：

已知：三角形纸片中，.将三角形纸片按如下步骤进行操作：

第一步：如图1，折叠三角形纸片，使点与点重合，然后展开铺平，折痕分别交于点，连接，易知．

第二步：在图1的基础上，将三角形纸片沿剪开，得到和.保持的位置不变，将绕点逆时针旋转得到(点分别是的对应点)，旋转角为问题解决：

（1）如图2，小彬画出了旋转角时的图形，设线段交于点，连接.小彬发现所在直线始终垂直平分线段.请证明这一结论；

（2）如图3，小颖画出了旋转角时的图形，设直线与直线相交于点，连接判断此时的形状，说明理由；

（3）在绕点逆时针旋转过程中，当时，请直接写出两点间的距离．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）△COF为等边三角形，证明见详解；（3）或．

【解析】

（1）根据旋转得△ADC≌△FDG，可得对应边对应角分别相等，从而转化证△FDM≌△CDN，进一步的得MD=ND，再证得AM=GN后，由此可证△APM≌△GPN，最后利用垂直平分线的判定即可；

（2）由第（1）问中的结论结合90°角可以计算得到∠OFC=∠OCF=60°，从而得证；

（3）首先要画出符合题意的图形，再借助勾股定理利用题目给的已知条件计算即可．

（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到

∴△ADC≌△FDG

∴AD=FD, DG=DC, ∠DAC=∠DFG，∠C=∠DGF，∠ADC=∠FDG，

∵AD=DC

∴∠DAC=∠C，DA=DF=DC=DG，

∴∠DAC=∠DFG=∠C=∠DGF，

∵∠ADC=∠FDG，

∴∠FDM=∠CDN，

在△FDM与△CDN中

∴△FDM≌△CDN(ASA)

∴MD=ND,

∴MA=NG,

在△APM与△GPN中

∴△APM≌△GPN (AAS)

∴PA=PG

又∵DA=DG

∴DP垂直平分AG．

（2）解：△COF为等边三角形．

理由如下：∵旋转角

∴∠FDA=∠GDC=90°

又∵DF=DA,DG=DC

∴∠DFA=∠DAF=∠DGC=∠DCG=45°

∵

∴∠B=∠DCA=30°

∵AD=DC

∴∠DAC=∠DCA=30°

∴∠ADC=120°

∴∠FDC=360°-∠ADC-∠ADF=360°-120°-90°=150°

∵DF=DC

∴∠DFC=∠DCF=15°

∴∠OFC=∠DFC+∠DFA=45°+15°=60°

∠OCF=∠DCG+∠DCF=45°+15°=60°

∴∠OFC=∠OCF

∴OC=OF

又∵∠OCF=60°

∴△COF为等边三角形

（3）解：如图1，∵∠BAC=120°，∠DAC=30°

∴∠BAD=90°，

又∵∠ABC=30°，

∴AD=BD，

∴CD=BD，

∵BC=6，

∴CD=AD=2，BD=4

∴FD=AD=2，

∵，∠AFD=30°，

∴OD=FD=1，OF=,

∴BO=BD-OD=4-1=3,

∴在Rt△BOF中，BF=

如图2，BO=BD+OD=4+1=5,

∴在Rt△BOF中，BF=

∴两点间的距离为或．