Question

如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1，0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，点C的坐标为（0，

3

）．
（1）直接写出A、B、D三点坐标；
（2）若抛物线y=x²+bx+c过A、D两点，求这条抛物线的解析式，并判断点B是否在所求的抛物线上，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AB是直径，且垂直于弦CD，由垂径定理即可求得OD的长，也就能求出D点的坐标；
连接AC、BC；在Rt△ABC中，OC⊥AB，由射影定理可得：OC²=OA•OB，用⊙O的半径表示出OA、OB的长，代入上式即可求出⊙O的半径，进而可得到A、B的坐标；
（2）将A、D的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；确定了抛物线的解析式后，再将B点坐标代入，即可判断出B点是否在该二次函数的图象上．

解答：解：（1）连接AC、BC，则∠ACB=90°；
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴OC=OD；
易知OC=

3

，则OD=OC=

3

，即D（0，-

3

）；
Rt△ABC中，OC⊥AB，由射影定理，得：
OA•OB=OC²=3，
设⊙O的半径为R，则OA=R-1，OB=R+1，代入上式，得：
（R+1）（R-1）=3，解得R=2；
∴OA=1，OB=3，即A（-1，0），B（3，0）；
所以A、B、D的坐标分别为：A（-1，0），B（3，0），D（0，-

3

）．

（2）将A（-1，0），D（0，-

3

）代入y=x²+bx+c中，得：

c=- 3 1-b+c=0

，解得

b=1- 3 c=- 3

；
∴y=x²+（1-

3

）x-

3

；
当x=3时，x²+（1-

3

）x-

3

=9+（1-

3

）×3-

3

=12-4

3

≠0；
∴点B（3，0）不在抛物线y=x²+（1-

3

）x-

3

上．

点评：此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的性质及二次函数解析式的确定；能够在Rt△ACB中通过射影定理正确的求得⊙O的半径，是解答此题的关键．