Question

如图，顶点坐标为（2，-1）的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解．
（2）可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积．（也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差）
（3）由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．
解答：解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x-2）²-1，代入C（O，3）后，得：
a（0-2）²-1=3，a=1
∴抛物线的解析式：y=（x-2）²-1=x²-4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直线BC：y=-x+3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴AD==，AC==，CD==2，
即：AC²=AD²+CD²，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=AD•CD=××2=2．

（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±；
当x=2+时，y=-x+3=1-；
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E₁（2+，1-）、E₂（2-，1+）．
②∠EDF=90°；
易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1-）、（2-，1+）、（1，2）或（4，-1）．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．