Question

7．观察下列算式
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$
第2个等式：a₂=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$
第3个等式：a₃=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
（1）按以上规律写出第10个等式a₁₀=$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$
（2）第n个等式a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
（3）试利用以上规律求$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$的值．
（4）你能算出$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{1000×1002}$的值吗？若能请写出解题过程．

Answer 1

分析 （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出a₁₀的表达式；
（2）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出a_n的表达式；
（3）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（4）根据所给规律探索可得出$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$），$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$…，易得结果．

解答 解：（1）∵第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$
第2个等式：a₂=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$                                           
第3个等式：a₃=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
…
∴第10个等式a₁₀=$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$；
故答案为：$\frac{1}{10×11}$，$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$；

（2））∵第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$
第2个等式：a₂=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$                                           
第3个等式：a₃=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
…
∴第n个等式a_n=$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n×（n+1）}$，$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；

（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…$+\frac{1}{2015×2016}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…$\frac{1}{2015}$$-\frac{1}{2016}$
=1$-\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$；

（4）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{1000×1002}$
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{2}×（\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$+…+$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{1000}-\frac{1}{1002}）$
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{1002}$）
=$\frac{125}{501}$．

点评 题考查的是有理数的混合运算，是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算．