Question

【题目】已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：

(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；

(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；

(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)t=，理由见解析；(2)存在，t=1，理由见解析；(3)不存在，理由见解析.

【解析】

（1）结合直角三角形性质，由△APC∽△ACB，得；（2）过点P作PM⊥AC，根据线段垂直平分线性质，求QM,AM的表达式，证△APM∽△ABC，得 ，；（3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得，得BP=2t=3，故PQ≠BP.

(1)在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，

∴AB=6，

由运动知，BP=2t，AQ= ，

∴AP=6﹣2t，

∵△APC∽△ACB，

∴t= ；

(2)存在，

理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ=，

∴AP=6﹣2t，CQ= ，

∵点P是CQ的垂直平分线上，

过点P作PM⊥AC，

∴QM=CM=

∴AM=AQ+QM= =(3+t)

∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，

∴△APM∽△ABC

∴

∴解得t=1；

(3)不存在

理由：由运动知，BP=2t，，

∴AP=6﹣2t，

假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，

∴PQ∥BG，PQ=BG，

∴△APQ∽△ABC，，

∴，

∴BP=2t=3，

∴PQ≠BP，

∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．