Question

如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将正三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB交于点C、D．
（1）如图①若边PC和OA垂直，那么线段PC和PD相等吗？为什么？
（2）如图②将正三角形绕P点转过一角度，设两边与OA、OB分别交于C'，D'，那么线段PC'和PD'相等吗？为什么？

Answer 1

解：（1）PC和PD相等． 理由：
∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°-90°-60°=30°，
∵∠CPD=60°，
∴∠DPO=∠CPD-∠CPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴△PCO≌△PDO（ASA），
∴PC=PD．
（2）PC'和PD'相等． 理由：
由（1）得△PCO≌△PDO，
∴PC=PD，∠PCC'=∠PDD'=90°，
∵∠CPD=∠C'PD'，
∴∠CPD﹣∠C'PD=∠C'PD'﹣∠C'PD，
即∠CPC'=∠DPD'，
∴根据“ASA”，可以得到△PCC'≌△PDD'．
∴PC'=PD'．