Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），三角形△ABO的面积为2．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．
（1）求直线AB的解析式．
（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．
（3）过点Q作QN⊥X轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据三角形的面积求出OA，再写出点A的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质表示出PM，再求出PQ的长，然后利用直角三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM²，再求出MN，然后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三种情况列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵点B（2，0），
∴OB=2，
∴S_△ABO=

1

2

OB•OA=

1

2

×2•OA=2，
解得OA=2，
∴点A（0，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

b=2 2k+b=0

，
解得

k=-1 b=2

，
∴直线AB的解析式为y=-x+2；

（2）∵OA=OB=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，
∴PM=PB=OB-OP=2-t，
PQ=OB=2，
∴△MPQ的面积为S=

1

2

PQ•PM=

1

2

×2×（2-t）=2-t，
∵点P在线段OB上运动，
∴0＜t＜2，
∴S与t的函数关系式为S=2-t（0＜t＜2）；

（3）t秒时，PM=PB=|2-t|，QN=BQ=t，
所以，QM²=PM²+PQ²=（2-t）²+4，
MN=

2

（QN-PM）=

2

（t-t-2）=2

2

，
①若MN=QN，则t=2

2

，
②若MN=QM，则（2-t）²+4=（2

2

）²，
整理得，t²-4t=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=4，
③若QN=QM，则（2-t）²+4=t²，
整理得，4t-8=0，
解得t=2，
此时点P在与点B重合，不合题意舍去，
综上所述，t=2

2

或4时，△MNQ是等腰三角形．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于（3）分情况讨论，用t表示出△MNQ的三边是解题的关键．