Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE岁点Q运动）．

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；

（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？

②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），

∴设抛物线解析式为，

将B（2，2）代入，得，解得，

∴抛物线解析式为；

（2）设AB解析式为，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，

∴，∵P（m，0），∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，

∴当x=10-2m时，QM=，∴QD=m，

∵四边形QCDE是正方形，∴；

（3）①由P（2，0），根据抛物线解析式可知N（2，2），

由正方形的性质得G（2，4），即PG=4，

又当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，

∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式得M（6，1），即QM=1，QD=2，

∴阴影部分面积和=，

②，，。