Question

9．若抛物线y=-3x²-2x+m与x轴分别交于A、B两点（A在B的左边），点P为顶点．
（1）若抛物线的顶点P在直线y=3x+$\frac{7}{3}$上，求抛物线的解析式；
（2）若PA：PB：AB=1：1：$\sqrt{2}$，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标公式，写出顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式即可；
（2）根据题意，用含m的式子表示出点P的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式即可．

解答 解：（1）在抛物线y=-3x²-2x+m中，a=-3，b=-2，c=m，
根据顶点坐标公式，可得顶点坐标为：P（$-\frac{1}{3}$，$m+\frac{1}{3}$），
∵点P在直线y=3x+$\frac{7}{3}$上，
∴3×$（-\frac{1}{3}）+\frac{7}{3}$=m+$\frac{1}{3}$，解得：m=1，
∴抛物线的解析式为：y=-3x²-2x+1；
（2）如图所示，
∵PA：PB：AB=1：1：$\sqrt{3}$，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∵PM⊥AB，
∴PM=AM=BM，
由抛物线的解析式可知，点P的坐标为（$-\frac{1}{3}$，m+$\frac{1}{3}$），
由抛物线具有对称性，可设点A（$-\frac{1}{3}-m-\frac{1}{3}$，0），点B（$-\frac{1}{3}+m+\frac{1}{3}$，0），即点A（$-\frac{2}{3}-m$，0），点B（m，0），
将点A、点B代入抛物线，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-3×（-\frac{2}{3}-m）^{2}-2×（-\frac{2}{3}-m）+m=0}\\{-3{m}^{2}-2m+m=0}\end{array}\right.$，解得：m=0或m=$-\frac{1}{3}$，
当m=$-\frac{1}{3}$时，点P（$-\frac{1}{3}$，0）在x轴上，不合题意，舍去，
∴m=0，
即抛物线解析式为：y=-3x²-2x．

点评 本题主要考查根据点的特点求抛物线解析式，解决此类问题的关键在于用含有未知数的式子表示坐标，进而用待定系数法求出抛物线解析式．