【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于A,C(A在C的左侧),点B在抛物线上,其横坐标为1,连接BC,BO,点F为OB中点.
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)若点D为抛物线第四象限上的一个动点,连接BD,CD,点E为x轴上一动点,当△BCD的面积的最大时,求点D的坐标,及|FE﹣DE|的最大值;
(3)如图2,若点G与点B关于抛物线对称轴对称,直线BG与y轴交于点M,点N是线段BG上的一动点,连接NF,MF,当∠NFO=3∠BNF时,连接CN,将直线BO绕点O旋转,记旋转中的直线BO为B′O,直线B′O与直线CN交于点Q,当△OCQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.
【答案】(1)y=﹣x+;(2)D(,﹣);|FE﹣DE|的最大值为;(3)点Q的坐标为Q1(,),Q2(,),Q3(﹣,),Q4(+,﹣).
【解析】
(1)令抛物线y=0,求出点C的坐标,再令x=1,求出点B坐标,待定系数法求出直线BC的解析式;
(2)三角形面积最值转换成求DH的最大值,然后利用二次函数的求最值问题解决点D的坐标,|FEDE|的最大值,可将点D和点F转换到x轴的同一侧,再利用共线时差值最大求出线段长度即可.
(3)找等腰三角形问题,要分类讨论,以OC为腰,或以OC为底都可以,利用∠OCN的正切值求出边之间的比例关系,求出点Q的坐标.
(1)令y=0,解得x1=,x2=,
∴A(,0),B(,0)
当x=1时,y=2
∴B(1,2)
设直线BC的解析式为y=kxb代入点B和C
,
解得
∴直线BC的解析式为y=;
(2)设点D(m,)
过点D作x轴的平行线,交BC于点H,
则点H(m,﹣m+)
HD=﹣m+﹣()=﹣(m﹣)2+
∴当m=时,HD取最大值,此时S△BCD的面积取最大值.
D(,)
作D关于x轴的对称点D′
则D′(,)
连接D′H交x轴于一点E,此时D′E﹣FE最大,即为D′F的长度
∵F为OB的中点
∴F(,)
∴D′F=
∴|FE﹣DE|的最大值为.
(3)由题意可知M(0,2)
∵∠NFO=3∠BNF
∴∠FBN=2∠BNF
作∠FBN的角平分线交x轴于点E
则∠OBE=∠EBG=∠OEB=∠BNF
过点B作x轴的垂线,垂足为点J
则J(1,0)
∵OB==3
∴OE=3
∴EJ=2
∵BJ=2
∴tan∠BEJ=,
∴tan∠BNF=,
过点F作MN的垂线,垂足为D
则FD=,
∴ND=1
∴N(,2)
连接NC
∵tan∠NCO=
①当OQ1等于CQ1时,过点Q1作OC的垂线,垂足为I
∵OC=
∴CI=
∴Q1I=
∴Q1(,)
②当OC=CQ3时,过点Q3作OC的垂线,垂足为K
∵OC=,∴CQ3=,
CK=,Q3K=
∴Q3(,)
③当OQ2=OC时,过点Q2作OC的垂线,垂足为P
∵OC=3,∴OQ2=3
设PC=a,则Q2P=a,OP=﹣a
根据勾股定理解得a=
∴Q2(,)
④当Q4在NC的延长线上时,CQ4=OC
同理可得,Q4(,)
综上所述:点Q的坐标为Q1(,),Q2(,),Q3(,),Q4(,,).
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【题目】如图,抛物线交轴于点和点,交轴于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点在抛物线上,且,求点的坐标;
(3)如图,设点是线段上的一动点,作轴,交抛物线于点,求线段长度的最大值,并求出面积的最大值.
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【题目】已知函数,下列说法正确的是( )
A. 方程=-3必有实数根
B. 若移动函数图象使其经过原点,则只能将图像向右移动1个单位
C. 若k>0,则当x>0时,必有y随着x的增大而增大
D. 若k<0,则当x<-1时,必有y随着x的增大而增大
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【题目】如图,在△ABC中,点O在BC边上,以OC为半径作⊙O,与AB切于点D,与边BC,AC分别交于点E,F,且弧DE=弧DF.
(1)求证:△ABC是直角三角形.
(2)连结CD交OF于点P,当cos∠B=时,求的值.
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【题目】2018年平昌冬奥会在2月9日到25日在韩国平昌郡举行。为了调查中学生对冬奥会比赛项目的了解程度,某中学在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A、非常了解 B、比较了解 C、基本了解 D、不了解。根据调查统计结果,绘制了如图所示的不完整的三种统计图表。
(1)本次调查的样本容量是 ,n= ;
(2)请补全条形统计图;
(3)学校准备开展冬奥会的知识竞赛,该校共有4000名学生,请你估计这所学校本次竞赛“非常了解”和“比较了解”的学生总数。
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【题目】为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计,现从该校随机抽取n名学生作为样本,采用问卷调查的方式收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中提供的信息,解答下列问题:
(1)请直接补全条形统计图;
(2)若该校共有学生3200名,试估计该校喜爱看课外书的学生人数。
(3)若被调查喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名,请用列表或画树状图的方法求恰好抽2名男生的概率.
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【题目】阅读下列材料
计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,则:
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=
在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:
(1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)
(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4
(3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3
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【题目】定义:如果一个四边形存在一条对角线,使得这条对角线是四边形某两边的比例中项,则称这个四边形为“闪亮四边形”,这条对角线称为“亮线”.如图1,四边形ABCD中,AB=AC=AD,满足AC2=ABAD,四边形ABCD是闪亮四边形,AC是亮线.
(1)以下说法正确的是______(填写序号)
①正方形不可能是闪亮四边形;
②矩形中存在闪亮四边形;
③若一个菱形是闪亮四边形,则必有一个内角是60°.
(2)如图2,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,AB=12,CD=20,判断哪一条线段是四边形ABCD的亮线?请你作出判断并说明理由.
(3)如图3,AC是闪亮四边形ABCD的唯一亮线,∠ABC=90°,∠D=60°,AB=4,BC=2,请直接写出线段AD的长.
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