Question

如图①，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形O₁O₂O₃O₄．

（1）试判断四边形O₁O₂O₃O₄的形状，并证明．
（2）若要镶嵌后的平行四边形O₁O₂O₃O₄为矩形，则四边形ABCD需要满足什么条件，并证明．

Answer 1

分析：（1）利用平行四边形的判定方法得出即可；
（2）首先认真读题，理解题意．密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角，据此需要判定中点四边形EFGH为菱形，进而由中位线定理判定四边形ABCD的对角线垂直．

解答：解：（1）平行四边形，
理由：∵将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形O₁O₂O₃O₄，
∴∠O₁=∠O₃，∠O₂=∠O₄，
∴四边形O₁O₂O₃O₄是平行四边形；

（2）对角线AC=BD时，密铺后的平行四边形为矩形．
理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角．
如解答图所示，连接EF、FG、GH、HE，设EG与HF交于点O，
连接AC、BD，由中位线定理得：EF∥AC∥GH，且EF=GH=

1

2

AC，
EH∥BD∥FG，且EH=FG=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴中点四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，
故要镶嵌后的平行四边形O₁O₂O₃O₄为矩形，则四边形ABCD需要满足的条件为AC=BD．

点评：本题考查图形剪拼与中点四边形．解题关键是理解三角形中位线的性质，熟练应用矩形、菱形等特殊四边形的判定与性质．