Question

【题目】如图

如图1，四边形ABCD和四边形BCMD都是菱形，

（1）求证：∠M=60°

（2）如图2，点E在边AD上，点F在边CM上，连接EF交CD于点H，若AE=MF，求证：EH=HF；

（3）如图3，在第(2)小题的条件下，连接BH，若EF⊥CM，AB=3，求BH的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）利用菱形的四条边相等，可证CD=DM=CM=AD，就可得到△CDM是等边三角形，再利用等边三角形的三个角都是60°，就可求出∠M的度数；

（2）过点E作EG∥CM交CD的延长线于点G，可得到∠G=∠HCF，先证明△EDG是等边三角形，结合已知条件证明EG=CF，利用AAS证明△EGH≌△FCH，再根据全等三角形的对应边相等，可证得结论；

（3）设BD，EF交于点N，根据前面的证明可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，再利用垂直的定义及三角形内角和定理可求出∠HED，∠EHD的度数，从而利用等腰三角形的判定和性质，可证得ED=DH=CF，可推出CD=3DH，就可求出DH的长，然后利用解直角三角形分别求出BN，NH的长，再利用勾股定理就可求出BH的长.

（1）证明：∵ 四边形ABCD和四边形BCMD都是菱形，

∴BC=CD=AD，BC=DM=CM

∴CD=DM=CM=AD，

∴△CDM是等边三角形，

∴∠M=60°。

（2）解： 如图2，过点E作EG∥CM交CD的延长线于点G，

∴∠G=∠HCF=60°，∠GED=∠M=60°，

∴∠G=∠GED=∠EDG=60°，

∴△EDG是等边三角形

∴EG=DE；

∵AD=CM，AE=MF，

∴DE=CF，

∴EG=CF；

在△EGH和△FCH中，

∴△EGH≌△FCH（AAS）

∴EH=FH.

（3）解： 如图3，设BD，EF交于点N，

由（1）（2）的证明过程可知BD=CD=AB=3，∠M=∠CDM=60°，DE=CF，

∵EF⊥CM，

∴∠EFM=90°，

∴∠HED=90°-60°=30°，

∠CDM=∠HED+∠EHD=60°

∴∠EHD=60°-30°=30°=∠HED=∠CHF

∴ED=DH=CF，

在R△CHF中，∠CHF=30°

∴CH=2CH=2DH，

∴CD=CH+DH=3DH=3

解之：DH=CF=1

∵菱形CBDM，EF⊥CM

∴BD∥CM

∴EF⊥BD；

∴∠DNH=∠BNH=90°，

在Rt△DHN中，∠DHN=30°，DH=1

∴DN=DHsin∠30°=，

NH=DHcos30°=；

∴BN=BD-DN=3-=，

在Rt△BHN中，

BH=.