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如图,抛物线的顶点为P(1,0),一条直线与抛物线相交于A(2,1),B(-
12
,m
)两精英家教网点.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)若M为线段AB上的动点,过M作MN∥y轴,交抛物线于点N,连接NP、AP,试探究四边形MNPA能否为梯形?若能,求出此点M的坐标;若不能,请说明理由.
分析:(1)可先根据P点的坐标,用顶点式二次函数通式设出抛物线的解析式,然后将A点的坐标代入抛物线中,即可求出二次函数的解析式,进而可求得B点的坐标.然后根据A、B两点的坐标求出直线AB的解析式.
(2)可假设存在这样的点M,若四边形MNPA为梯形,那么只有一种可能即NP∥MA,可通过构建相似三角形来求出N点的坐标.由于N点在抛物线上,因此可根据抛物线的解析式设出N点的坐标,假设直线AB与x轴的交点为R(R的坐标可通过直线AB的解析式求得),过A作AS⊥x轴于S,可通过证三角形NPQ和ARS相似来得出关于NQ,AS,QP,SR的比例关系式,据此可求出N点的横坐标,然后将N点的横坐标代入直线AB的解析式中即可求出M的坐标.
解答:解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2
∴a(2-1)2=1,
∴a=1
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1.(1分)
当x=-
1
2
时,m=(-
1
2
2-2×(-
1
2
)+1=
9
4

设直线AB的解析式为y=kx+b
-
1
2
k+b=
9
4
2k+b=1

解得
k=-
1
2
b=2

∴直线AB的解析式为y=-
1
2
x+2.

(2)假设符合条件的点M存在.
由题意可知,MN不平行于AP,
∴梯形的两底只能是NP、MA.
设AB与x轴相交于点R,MN的延长线与x轴相交于点Q,作AS⊥x轴于点S,
精英家教网由y=-
1
2
x+2知点R的坐标为(4,0).
∵NP∥MA
∴∠NPQ=∠ARS,
∵∠NQP=∠ASR=90°
∴Rt△NPQ∽Rt△ARS
NQ
AS
=
QP
SR

设N点的坐标为(x,x2-2x+1),
则有
x2-2x+1
1
=
1-x
2

解得x=
1
2
,x=1(舍去).
当x=
1
2
时,y=-
1
2
×
1
2
+2=
7
4

∴符合条件的点M存在,其坐标为(
1
2
7
4
).
点评:本题考查了一次函数和二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、梯形的判定和性质等知识点.
主要考查学生数形结合的数学思想方法.
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12
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(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为抛物线上的一点,点E为对称轴上的一点,且以点A、O、D、E为
顶点的四边形为平行四边形,请直接写出点D的坐标;
(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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