Question

已知直线y=ax+c与抛物线y=ax²+bx+c（a≠0，b≠0）分别相交于A（0，C），B（1-b，m）两点，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于C，D两点，顶点为P．
（1）求a的值．
（2）如果CD=2，当-1≤x≤1时，抛物线y=ax²+bx+c的最大值与最小值的差为4，求点的B坐标．

Answer 1

分析：（1）把B点坐标分别代入两个函数解析式得到a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，再易项后分解因式得到（1-b）•b•（a-1）=0，然后根据条件可得到a=1；
（2）先利用根与系数的关系表示CD=

b2-4ac

|a|

，则

b2-4c

=2，即b²-4c=4，则可确定抛物线的顶点式为y=（x+

b

2

）²-1，对称轴为直线x=-

b

2

，
且当x=1时，y=1+b+c；当x=-1时，y=1-b+c，然后分类讨论：当-

b

2

＞1，根据二次函数的性质得1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；当0＜-

b

2

≤1，根据二次函数的性质得1-b+c-（-1）=4，则c=2+b，把c=2+b代入b²-4c=4可解得b₁=6（舍去），b₂=-2；把b=-2代入c=2+b得c=0，再计算出m=a（1-b）+c=3，于是得到B点坐标为（3，3）；同类可得当-

b

2

＜-1，解得b=2（舍去）；当-1≤-

b

2

＜0，可确定B点坐标为（-1，-1）．

解答：解：（1）把B（1-b，m）分别代入y=ax+c和y=ax²+bx+c得m=a（1-b）+c，m=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴（1-b）•b•（a-1）=0，
∵b≠0，1-b≠0，
∴a=1；

（2）设C点坐标为（x₁，0），D点坐标为（x₂，0），
∵CD=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4• c a

=

b2-4ac

|a|

，
∴

b2-4c

=2，即b²-4c=4，
∴抛物线的顶点的纵坐标为

4ac-b2

4a

=-1，
∴抛物线的解析式为y=（x+

b

2

）²-1，对称轴为直线x=-

b

2

，
x=1时，y=1+b+c；x=-1时，y=1-b+c，
当对称轴在直线x=1的右侧，即-

b

2

＞1，解得b＜-2，
1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；
当对称轴在直线x=1的左侧（或与x=1重合），y轴的右侧，即0＜-

b

2

≤1，解得-2≤b＜0，
1-b+c-（-1）=4，c=2+b，
把c=2+b代入b²-4c=4得b²-4b-12=0，解得b₁=6（舍去），b₂=-2；
把b=-2代入c=2+b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-（-2）+0=3，
∴B点坐标为（3，3）；
当对称轴在直线x=-1的左侧，即-

b

2

＜-1，解得b＞2，
1+b+c-（1-b+c）=4，解得b=2（舍去）；
当对称轴在直线x=-1的右侧（或与x=-1重合），y轴的左侧，即-1≤-

b

2

＜0，解得0＜b≤2，
1+b+c-（-1）=4，c=2-b，
把c=2-b代入b²-4c=4得b²+4b-12=0，解得b₁=-6（舍去），b₂=2；
把b=2代入c=2-b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-2）+0=-1
∴B点坐标为（-1，-1），
∴B点坐标为（-1，-1）或（3，3）．

点评：本题考查了二次函数的综合题：会求抛物线与直线的交点坐标、抛物线与x轴的两交点之间的距离；掌握抛物线的增减性和最值问题；会运用分类讨论的思想解决问题．