Question

如图，△DEF是正三角形，AD=BF=EC，求证：△ABC是正三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：利用反证法，先假设△ABC中有两边相等，可证明△ABC为等边三角形，再假设△ABC中各边不相等，可证明假设不成立，即可△ABC为等边三角形．

解答：证明：如果AB．BC．AC有两条边AB．AC相等，则AE=BD，BF=AD，ED=DF

在△AED和△BDF中，

BF=AD ED=DF BD=AE

，
∴△AED≌△BDF（SSS），
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，故此时△ABC为等边△，
 若∠A，∠B，∠C各不相等，则这个三角形中至少有一个角大于60°，一个角小于60°，
 设∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及延长线上分别取点P．Q，使得∠DPF=60°，∠AQE=60°，
∵∠ADE+∠FDE+∠FDP=180°，且△DPF的内角和为180°，∠DPF=∠FDE=60°，
∴∠DFP=∠ADE，
在△QDE和△PFD中，

∠DQE=∠FPD ∠QDE=∠DFP DF=DE

，
∴△QDE≌△PFD（AAS），
∴DQ=PF，
∵∠BPF为钝角，
∴BF＞PF，
∴AD=BF＞DQ显然不成立，
∴△ABC必为等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中运用反证法求证是解题的关键．