Question

如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；（4分）

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（5分）

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．（5分）

Answer 1

⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)²+k

∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)

∴y=a(x-4)²+k         ………………①

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6

∴A(1，0)，B(7，0)

∴0=9a+k  ………………②

由①②解得a=，k=

∴二次函数的解析式为：y=(x-4)²－

⑵∵点A、B关于直线x=4对称

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值

∴DB与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO

∴△BPM∽△BDO

∴  ∴

∴点P的坐标为(4，).

⑶由⑴知点C(4，)，

又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=

∴∠ACM=60^o，∵AC=BC，∴∠ACB=120^o

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有

BQ=6，∠ABQ=120^o，则∠QBN=60^o

∴QN=3，BN=3，ON=10

此时点Q(10，)

如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)

②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，

此时点Q的坐标是(4，)，

经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上

综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC

点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．