【题目】如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC、∠ACB的平分线交于E,D是AE延长线上一点,且∠BDC=120°.下列结论:①∠BEC=120°;②DB=DC;③DB=DE;④∠BDE=∠BCA.其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】分析:根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB,然后求出∠BEC=120°,判断①正确;过点D作DF⊥AB于F,DG⊥AC的延长线于G,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG,再求出∠BDF=∠CDG,然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=CD,得出②正确;再根据等边对等角求出∠DBC=30°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB,根据等角对等边可得BD=DE,判断③正确;再求出B,C,E三点在以D为圆心,以BD为半径的圆上,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE=∠BCA,判断④正确.
详解:∵∠BAC=60°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线, ∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=60°,
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-60°=120°,故①正确;
如图,过点D作DF⊥AB于F,DG⊥AC的延长线于G,
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线, ∴AD为∠BAC的平分线,
∴DF=DG, ∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°, 又∵∠BDC=120°,
∴∠BDF+∠CDF=120°,∠CDG+∠CDF=120°, ∴∠BDF=∠CDG,
∴△BDF≌△CDG(ASA), ∴DB=CD,故②正确;
∴∠DBC=(180°-120°)=30°, ∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE,
∵BE平分∠ABC,AE平分∠BAC, ∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠BAC=30°,
根据三角形的外角性质,∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°,∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE,故③正确;
∵DB=DE=DC, ∴B,C,E三点在以D为圆心,以BD为半径的圆上,
∴∠BDE=2∠BCE=∠BCA,故④正确;故选D.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为深化义务教育课程改革,某校积极开展拓展性课程建设,设计开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程,要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程。为了了解学生选择拓展性课程的情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下统计图(部分信息未给出):
根据统计图中的信息,解答下列问题:
(1)求本次被调查的学生人数;
(2)将条形图补充完整;
(3)若该校共有1600名学生,请估计全校选择体育类的学生人数。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一个不透明的布袋里装有4个大小,质地都相同的乒乓球,球面上分别标有数字1,-2,3,-4,小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去),再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球.
(1)共有 种可能的结果.
(2)请用画树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨;用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨.根据以上信息, 解答下列问题:
(1)1辆A型车和l辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?
(2)某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车辆,B型车辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物请用含有的式子表示,并帮该物流公司设计租车方案;
(3)在(2)的条件下,若A型车每辆需租金500元/次,B型车每辆需租金600元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费用.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某地区为绿化环境,计划购买甲、乙两种树苗共计n棵.有关甲、乙两种树苗的信息如图所示:
(1)当n=400时,如果购买甲、乙两种树苗共用27000元,那么甲、乙两种树苗各买了多少棵?
(2)实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元,其中甲种树苗买了m棵.
①写出m与n满足的关系式;
②要使这批树苗的成活率不低于92%,求n的最大值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的顶点为(1,-4),且经过点B(3,0).
(Ⅰ)求该抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;
(Ⅱ)点P(m,t)为抛物线上的一个动点,点P关于原点的对称点为P′.
①当点P′落在该抛物线上时,求m的值;
②当点P′落在第二象限内,P′A2取得最大值时,求m的值.
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