Question

观察：已知x≠1．（1-x）（1+x+x²）=1-x³（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=______
（1）根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=______
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=______
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=______
（2）通过以上规律请你进行下面的探素：
①（a-b）（a+b）=______
②（a-b）（a²+ab+b²）=______
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=______
根据寻找的规律解答下列问：
（3）判断2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．

Answer 1

（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（1）①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=-（1-x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰-1；
（2）①（a-b）（a+b）=a²-b²；
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
（3）2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）=-（1-2²⁰¹¹）=2²⁰¹¹-1，
∵2011÷4=502…3，
而2的乘方的个位数是2、4、8、6的循环，
∴2²⁰¹¹-1的个位数为7．
故答案为1-xⁿ⁺¹；-63；2ⁿ⁺¹-2；x¹⁰⁰-1；a²-b²；a³-b³；a⁴-b⁴．