Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是

 

，点C的坐标是

 

；
（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．
（2）本问要分类进行讨论：
①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．
②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，由平行得到一对同位角相等，再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC，根据相似得比例，由OD，AD表示出AM的长，进而得到BM的长，再由MN∥AC，得到两对同位角的相等，从而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的长，从而得到CN的长，然后分别表示出各个三角形的面积，可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得．
（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．

解答：解：（1）（4，0），（0，3）；

（2）当0＜t≤4时，OM=t
∵MN∥AC，
∴∠OMN=∠OAC，∠ONM=∠OCA，
∴△OMN∽△OAC，
∴

OM

OA

=

ON

OC

，即

t

4

=

ON

3

，
∴ON=

3

4

t，则S=

1

2

OM•ON=

3

8

t²；
当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，
∴AD=t-4，
∵MN∥AC，
∴∠CAO=∠MDA，
又∠COA=∠MAD=90°，
∴△DAM∽△AOC，可得AM=

3

4

（t-4），
∴BM=6-

3

4

t，
∵MN∥AC，
∴∠BNM=∠BCA，∠BMN=∠BAC，
∴△BMN∽△BAC，可得BN=

4

3

BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积
=12-

3

2

（t-4）-

1

2

（8-t）（6-

3

4

t）-

3

2

(t-4)=-

3

8

t²+3t

（3）有最大值．
当0＜t≤4时，
∵抛物线S=

3

8

t²的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大
∴当t=4时，S可取到最大值

3

8

×4²=6；（11分）
当4＜t＜8时，
∵抛物线S=-

3

8

t²+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），
∴S≤6，
综上，当t=4时，S有最大值6．

点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识，其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，二次函数求最值的方法，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．