Question

12．如图，已知AB为⊙O的直径，D、C为⊙O上两点，弧AD=弧DC，连结AC．过点D作DE⊥0B于E．求证：DE=$\frac{1}{2}$AC．

Answer 1

分析 连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F，由垂径定理得到DE=$\frac{1}{2}$DF，$\widehat{BD}$=$\widehat{BF}$，DG⊥AC，∠C=∠B，$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$，根据余角的性质得到∠1=∠2，由圆周角定理得到$\widehat{BF}$=$\widehat{CG}$，等量代换得到结论．

解答 解：连接DO并延长交⊙O于G，结论DC，DB，延长DE交⊙O于F，
∵AB为⊙O的直径，
∴DE=$\frac{1}{2}$DF，$\widehat{BD}$=$\widehat{BF}$，
∵弧AD=弧DC，
∴DG⊥AC，∠C=∠B，$\widehat{AG}$=$\widehat{CG}$，
∵∠1+∠C=90°，∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CG}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DF}$，
∴AC=DF，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．