Question

12．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，-3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使△ABP∽△CBA？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出B点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求∠ABC的度数；
（3）利用相似三角形的性质得出BP的长，再求出OD的长进而得出答案．

解答 解：（1）将点A的坐标（-1，0），点C的坐标（0，-3）代入抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）由（1）得：0=x²-2x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，故B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为：y=x-3，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；

（3）存在一点P，使△ABP∽△CBA
连接AP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D，

∵△ABP∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$，
∵BO=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得：BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
由题意可得：PD∥OC，
∴DB=DP=$\frac{8}{3}$，
∴OD=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
则P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数、一次函数解析式等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．