分析 (1)直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
(2)首先求出B点坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求∠ABC的度数;
(3)利用相似三角形的性质得出BP的长,再求出OD的长进而得出答案.
解答 解:(1)将点A的坐标(-1,0),点C的坐标(0,-3)代入抛物线解析式得:
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$,
故抛物线解析式为:y=x2-2x-3;
(2)由(1)得:0=x2-2x-3,
解得:x1=-1,x2=3,故B点坐标为:(3,0),
设直线BC的解析式为:y=kx+d,
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-3}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-3}\end{array}\right.$,
故直线BC的解析式为:y=x-3,
∵B(3,0),C(0,-3),
∴BO=OC=3,
∴∠ABC=45°;
(3)存在一点P,使△ABP∽△CBA
连接AP、AC,过点P作PD⊥x轴于点D,
∵△ABP∽△CBA,
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$,
∵BO=OC=3,
∴BC=3$\sqrt{2}$,
∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$,
解得:BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$,
由题意可得:PD∥OC,
∴DB=DP=$\frac{8}{3}$,
∴OD=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$,
则P($\frac{1}{3}$,-$\frac{8}{3}$).
点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数、一次函数解析式等知识,正确利用数形结合分析是解题关键.
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A. | 7 | B. | 8 | C. | 12 | D. | 14 |
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A. | 40° | B. | 50° | C. | 65° | D. | 70° |
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