Question

（2013•河北一模）如图，已知直线y=x+4与两坐???轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是

8-2

2

和8+2

2

．

Answer 1

分析：求出OA、OB值，根据已知得出求出BE的最大值和最小值即可，过A作⊙C的两条切线，连接OD′，OD，求出AC，根据切线性质设E′O=E′D′=x，根据sin∠CAD′=

OE′

AE′

，代入求出x，即可求出BE的最大值和最小值，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：y=x+4，
∵当x=0时，y=4，当y=0时，x=-4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
过A作⊙C的两条切线，如图，
当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，
∴OE′=E′D′，
设E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切线，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4

2

，
∴sin∠CAD′=

D′C

AC

=

OE′

AE′

，
∴

2

6

=

x

4 2 -x

，
解得：x=

2

，
∴BE′=4+

2

，BE=4-

2

，
∴△ABE的最小值是

1

2

×（4-

2

）×4=8-2

2

，
最大值是：

1

2

×（4+

2

）×4=8+2

2

，
故答案为：8-2

2

和8+2

2

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识点，解此题的关键是找出符合条件的D的位置，题目比较好，有一定的难度．