Question

19．已知：如图，在△ABC中，∠C=30°，BC=20，AC=16，E为BC中点，动点P在BE上从点B出发向点E以每秒1个单位长度的速度移动，点Q在CE上从点C出发E向点E也以每秒1个单位长度的速度移动，点P、Q同时出发，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动（P，Q都不与B，E，C重合）．过点P作PD∥AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．
（1）当t=4时，求PD的长；
（2）设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）是否存在某一时刻t，使S_△DPQ：S_△ABC=3：25？若存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当t=4时，BP=4，由平行线证出△BPD∽△BCA，得出比例式，即可得出结果；
（2）作DM⊥BC于M，由平行线证出△BPD∽△BCA，得出比例式，求出PD=$\frac{4}{5}$t，由含30°角的直角三角形的性质得出DM=$\frac{2}{5}$t，求出PQ=20-2t，由三角形面积公式即可得出结果；
（3）作AN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性质得出AN=$\frac{1}{2}$AC=8，求出△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AN=80，由已知条件得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）当t=4时，BP=4，
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴$\frac{PD}{AC}=\frac{BP}{BC}$，
即$\frac{PD}{16}=\frac{4}{20}$，
解得：PD=$\frac{16}{5}$；
（2）作DM⊥BC于M，如图1所示：
∵E为BC中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴$\frac{PD}{AC}=\frac{BP}{BC}$，∠DPM=∠C=30°，
∴$\frac{PD}{16}=\frac{t}{20}$，DM=$\frac{1}{2}$PD，
∴PD=$\frac{4}{5}$t，
∴DM=$\frac{2}{5}$t，
∵BP=CQ=t，
∴PQ=20-2t，
∴△DPQ的面积y=$\frac{1}{2}$（20-2t）×$\frac{2}{5}$t=4t-$\frac{2}{5}$t²，
即y=-$\frac{2}{5}$t²+4t（0＜t＜10）；
（3）存在某一时刻t，使S_△DPQ：S_△ABC=3：25，t=4s或t=6s；理由如下：
作AN⊥BC于N，如图2所示：
则∠ANC=90°，
∵∠C=30°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=8，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AN=$\frac{1}{2}$×20×8=80，
∵S_△DPQ：S_△ABC=3：25，
∴S_△DPQ=$\frac{3}{25}$×80=$\frac{48}{5}$，
∴-$\frac{2}{5}$t²+4t=$\frac{48}{5}$，
解得：t=4s或t=6s．

点评 本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．