Question

如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，O A₁交AB于点E，OC₁交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A₁B₁C₁O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

Answer 1

分析：（1）由题意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因为∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根据ASA可证明全等．
（2）由（1）得△AOE≌△BOF?S_{四边形OEBF}=S_△EOB+S_△OBF=S_△EOB+S_△AOE=S_△AOB=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF．
在△AOE和△BOF中

∠OAE=∠OBF OA=OB ∠AOE=∠BOF

，
∴△AOE≌△BOF．

（2）答：两个正方形重叠部分面积等于

1

4

a²，
因为△AOE≌△BOF，
所以：S_{四边形OEBF}=S_△EOB+S_△OBF=S_△EOB+S_△AOE=S_△AOB=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2．

点评：本题在于考查三角形全等的证明，根据全等则面积相等，从而求得重叠部分的面积．