Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F．
（1）在旋转过程中，线段AF与EC有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）若AB⊥AC，AB=1，BC=

5

时，在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？不能，说明理由；能，也说明理由，并求出此时AC绕O顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析：（1）已知该图形为平行四边形，故易证得△AOF≌△COE，后可得出AF=EC．
（2）根据（1）可知△AOF≌△COE，然后可得出OE=OF．根据题意可得出四边形BEDF是菱形．根据勾股定理可求出AC的值，之后可得出△AOB是等腰直角三角形，然后可知道AC绕O顺时针旋转的度数为45°，从而得出结论．

解答：解：（1）AF=EC；（2分）
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，∠ECO=∠FAO；
又∵∠AOF=∠EOC，
∴△AOF≌△EOC，故AF=EC．（4分）

（2）四边形BEDF可能是菱形．（5分）
理由：∵△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
又∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，（6分）
∴只要有EF⊥BD，就能使平行四边形BEDF是菱形．
∵AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC2-AB2

=2，
又∵OA=OC，
∴AO=1，
∵AB⊥AC，AB=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴AC绕O顺时针旋转的度数为45°．

点评：本题的难度中上，主要考查的是图形的旋转变换以及全等三角形的相关知识，综合性强．