Question

如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝，∠DAB＝∠CAE，如图(甲)所示，连结DE，设M为DE的中点．

(1)固定Rt△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(乙)位置，问：MB＝MC是否能成立？说明理由．

(2)MB与MC是否总相等？说明理由．

Answer 1

答案：
提示：

提示：(1)MB＝MC能成立，理由如下：在图乙中，延长BM交EC的延长线于N，由于DM＝EM，CE∥DB，所以 　　△DBM≌△ENM，得BM＝MN． 　　又CM是Rt△BCN斜边BN的中线， 　　所以CM＝BN＝BM． 　　(2)MB与MC总相等．理由如下： 　　在图甲中，过M作△ADE的两条中位线MF、MG，连结BF、CG、MF、MG，则 　　MF＝AE，MG＝AD． 　　又F、G分别为AD、AE的中点，所以BF、CG分别为Rt△ABD、Rt△ACE的斜边上的中线，故BF＝AD，CG＝AE，从而 　　MF＝CG，MG＝BF． 　　又∠CGE＝2∠CAE＝2∠BAD＝∠BFD， 　　∠MFD＝∠DAE＝∠MGE， 　　所以∠BFM＝∠CGM． 　　△BFM≌△MGC， 　　所以MB＝MC．