Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB＝60º，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）OE＝4EF

【解析】

试题分析：（1）先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再结合公共边OE即可证得Rt△OED≌Rt△OEC，从而证得结论；

（2）由Rt△OED≌Rt△OEC结合∠AOB＝60º，含30º角的直角三角形的性质即可得到结果.

(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA

∴ED＝EC

∵OE＝OE

∴Rt△OED≌Rt△OEC

∴OC＝OD

∵OE平分∠AOB

∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE平分∠AOB，∠AOB＝60º，

∴∠AOE＝∠BOE＝30º

∵ED⊥OA

∴OE＝2DE

∵∠EFD＝90º，∠DEO＝90º－∠DOE＝90º－30º＝60º

∴∠EDF＝30º

∴DE＝2EF

∴OE＝4EF．

考点：本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的判定，含30º角的直角三角形的性质

点评：解答本题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；30º角所对的直角边等于斜边的一半.