Question

3．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．
（1）试写出b，c之间的关系式；
（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x₁与x₂之间满足关系x₂=6x₁．
①求△ODE与△OEF的面积比；
②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式写成顶点式，可用a分别表示出b和c，可得到b和c之间的关系式；
（2）①由条件可知△ODE和△ODF同底，且高的比为E、F两点的横坐标之比，可求得△ODE和△ODF的面积之间的关系，可求得答案；
②可设出E点坐标为（m，m+4），表示出F点的坐标，由条件可证明△EPM∽△PFN，根据相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m，可求得E、F点的坐标，把F点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，再把E点坐标代入验证即可．

解答 解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，4），
∴抛物线解析式为y=a（x-2）²+4=ax²-4ax+4a+4，
∴b=-4a，c=4a+4，
∴b+c=4；
（2）①由题意可知△ODE和△ODF的底边DE、DF边上的高相同，
∴S_△ODE：S_△ODF=DE：DF=x₁：x₂=1：6，
∴S_△ODE：S_△OEF=1：5；
②如图，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，交直线DP于点M、N，
∵直线y=x+4，
∴设点E坐标为（m，m+4），则点F的坐标为（6m，6m+4），
∴EM=EG-MG=m+4-4=m，FN=FH-NH=6m+4-4=6m，PM=PD-MD=2-m，PN=DN-PD=6m-2，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPM+∠FPN=90°，且∠FPN+∠PFN=90°，
∴∠EPM=∠PFN，
∴△EPM∽△PEN，
∴$\frac{EM}{PN}$=$\frac{PM}{FN}$，即$\frac{m}{6m-2}$=$\frac{2-m}{6m}$，
整理可得6m²+7m+2=0，解得m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{2}{3}$，
当m=$\frac{1}{2}$时，点E（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），F（3，7），把F点坐标代入抛物线解析式可得a+4=7，解得a=3，
∴抛物线解析式为y=3（x-2）²+4，当x=$\frac{1}{2}$时，代入可求得y=$\frac{43}{4}$≠$\frac{9}{2}$，即点E不在该抛物线图象上，不符合题意，
当m=$\frac{2}{3}$时，点E（$\frac{2}{3}$，4$\frac{2}{3}$），F（4，8），把F点坐标代入抛物线解析式可求得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²+4，当x=$\frac{2}{3}$时，代入可求得y=$\frac{52}{9}$≠4$\frac{2}{3}$，即点E不在抛物线图象上，不符合题意，
综上可知不存在满足条件的a的值．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等．在（1）中写出抛物线线的顶点式是解题的关键，在（2）①中利用同高三角形的面积比为底的比是解题的关键，在②中利用相似三角形性质求得E、F的坐标是解题的关键，注意代入验证．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．