Question

【题目】如图，已知直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标；

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，有最大值，此时；（3）或或．

【解析】

(1）要求抛物线的解析式，先根据一次函数求点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）要求当面积最大时，点E的坐标，首先过点E作轴，交直线BC于点G，设出点E的坐标，表示出点G的坐标，然后表示出EG的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值即可得出点E的坐标；（3）要求使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标，分三种情况：①以AM为边时，四边形AMQP是平行四边形；②以AM为边，四边形AMPQ是平行四边形；③以AM为对角线时，四边形APMQ是平行四边形，根据平行四边形的特征，即可求出点P的坐标．

解：（1）当时，，∴，当时，，解得，∴，

把和代入抛物线中得：解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）如解图①，过点E作轴，交直线BC于点G．

图①

设，则，

∴，

∴，∵，

∴当时，有最大值，∴此时；

（3）存在，点P的坐标是或或．

[解法提示]

，

对称轴是直线，∴，

∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为，

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；

①如解图②，以AM为边时，四边形AMQP是平行四边形，由（2）可得点M的横坐标是3，

∵点M在直线上，∴点M的坐标是，又∵点A的坐标是，点Q的横坐标为，根据点M到点Q的平移规律可知点P的横坐标为，∴；

②如解图③，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，

由（2）可得点M的横坐标是3，

∵，且点Q的横坐标为，

根据点A到点Q的平移规律可知点P的横坐标为，∴；

图② 图③

③如解图④，以AM为对角线时，四边形APMQ是平行四边形，根据点M到点Q的平移规律可得点P到点A的平移规律可知点P的横坐标为，∴；

图④

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或．