Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+4交于A（1，m），B（4，8），与x轴交于原点及C点．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D，使得S_△OCD=$\frac{3}{2}$S_△OCB，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入直线的解析式可求得k的值，从而得到直线的解析式，将点A的坐标代入直线的解析式可求得m的值，然后将点A、B、O的坐标代入抛物线的解析式，组成关于a、b、c的方程组，从而可求得抛物线的解析式；
（2）令抛物线的y值为0，可求得点C的坐标，然后可求得△OBC的面积，从而可得到△OCD的面积，依据三角形的面积公式可求得点D的纵坐标，将点D的纵坐标代入抛物线的解析式可求得点D的横坐标．

解答 解：（1）将点B的坐标代入直线AB的解析式得：4k+4=8，
解得k=1，
直线AB的解析式为y=x+4．
∵将点A的坐标代入y=x+4得：m=1+4=5，
∴A（1，5）．
将点A、B、O的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=5}\\{16a+4b+c=8}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=6，c=0．
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x．
（2）令y=0得：-x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=6．
∴点C（6，0）．
∴S_△OCD=$\frac{3}{2}$S_△OCB=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×8=36．
设点D的坐标为（x，y），则$\frac{1}{2}$×6×|y|=36，解得：y=±12．
当y=12时，-x²+6x=12，△＜0，方程无解，
当y=-12时，-x²+6x=-12，解得：x₁=3+$\sqrt{21}$，x₂=3-$\sqrt{21}$．
总数所述，当点D的坐标为（3+$\sqrt{21}$，-12）或（3-$\sqrt{21}$，-12）时，S_△OCD=$\frac{3}{2}$S_△OCB．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，求得点D的纵坐标是解题的关键．