Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是________.

Answer 1

【答案】0或1＜AF＜ 或4.

【解析】

先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，当F与A和B重合时，有两个直角三角形，都符合条件，即AF=0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值.

解：以EF为斜边的直角三角形的直角顶点P是以EF为直径的圆与矩形边的交点, 取EF的中点O,

(1) 如图1, 当圆O与AD相切于点G时, 连结OG, 此时点G与点P重合,只有一个点, 此时AF=OG=DE=1;

(2) 如图2,

当圆O与BC相切于点G, 连结OG,EG, FG, 此时有三个点P可以构成Rt△EFP,

∵OG是圆O的切线,∴OG⊥BC

∴OG∥AB∥CD

∵OE=OF,

∴BG=CG,∴OG= (BF+CE),

设AF=x, 则BF=4-x, OG= (4-x+4-1)= (7-x)

则EF=2OG=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x) ，

在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

得(7-x) =10+1+(4-x)2,解得x= ，

所以当1<AF<时,以EF为直径的圆与矩形ABCD的交点 (除了点E和F) 只有两个;

(3)因为点F是边AB上一动点:

当点F与B点重合时, AF=4, 此时Rt△EFP正好有两个符合题意，如图3;

故答案为0或1＜AF＜ 或4.