Question

如图，已知⊙O半径为9cm，射线PM经过点O，OP=15cm，射线PN与⊙O相交于点Q，动点A自P点以

5

2

cm/s的速度沿射线PM方向运动，同时动点B也自P点以2cm/s的速度沿射线PN方向运动，则它们从点P出发

 

s后AB所在直线与⊙O相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：动点型

分析：过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．

解答：解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为

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2

cm/s，点B的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，
∴PA=

5

2

t，PB=2t，
∵PO=15，QO=9，
PQ=12，
∴

PA

PO

=

PB

PQ

，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为9，
∴BQ=OC=9时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ-PB=12-2t，
∵BQ=9，
∴12-2t=9，
∴t=1.5（s）．
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB-PQ=2t-12，
∵BQ=9，
∴2t-12=9，
∴t=10.5（s）．
∴当t为1.5s或10.5s时直线AB与⊙O相切．
故答案为：1.5s或10.5s．

点评：本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．