Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．

（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；

（2）求sin∠BAM的值；

（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）；（3）Q（0，1）．

【解析】

（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x=0得y=3，可得B（0，3），而AO=BO可得A（3，0），然后用待定系数法解答即可；

（2）先说明∠MBA=90°，则即可；

（3）先明∠BAM=∠OAQ，然后运用正弦、正切的定义求解即可．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，

令x＝0得y＝3，

∴B（0，3），

∵AO＝BO，

∴A（3，0），

把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，

解得b＝2，

∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，

顶点M（1，4）；

（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），

∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，

∴∠MBA＝90°，

∴；

（3）∵OA＝OB，

∴∠OAB＝45°

∵∠MAQ＝45°，

∴∠BAM＝∠OAQ，

由（2）得，

∴，

∴，

∴，

∴OQ＝1，

∴Q（0，1）．