Question

31、已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：这个长方体的体积．

Answer 1

分析：我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．

解答：解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=2006，
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=2006，
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，
（1+b）（c+1+a+ac）=2007，
（1+b）（c+1）（a+1）=2007，
2007只能分解为3×3×223
∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223
∴a、b、c也只能分别为2、2、222
∴长方体的体积abc=888．

点评：本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．