Question

7．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，顶点为P点，已知A（-1，0），B（4，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）试判断以点P为圆心，PC为半径的圆与直线CD的位置关系并说明理由；
（3）点E是线段BC上的一动点．
①是否存在这样的点E，使△ECD是等腰三角形，如果存在，直接写出E点的坐标，如果不存在，请说明理由；
②过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，设出点E坐标，表示出DE，CE，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）①先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2），分三种情况讨论计算出m；
②设出点E的横坐标，由四边形CDBF的面积=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解答 解（1）∵A（-1，0），B（4，0）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{-\frac{1}{2}×16+4m+n=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）以PC为半径的圆与直线CD的位置关系是相切，
理由：由（1）得，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
∵与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
∴C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∵抛物线顶点为P点，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∴CD=$\frac{5}{2}$，PD=$\frac{25}{8}$，PC=$\frac{15}{8}$，
∴CD²+PC²=（$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{15}{8}$）²=$\frac{625}{64}$=（$\frac{25}{8}$）²=PD²，
∴PC⊥CD，
∵点C在圆上，
∴直线CD与PC为半径的圆相切；
（3）①∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设点E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），（0＜m≤4）
∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CE²=m²+$\frac{1}{4}$m²，DE²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²，CD²=$\frac{25}{4}$，
∵△ECD是等腰三角形
∴Ⅰ、当CE=DE时，即：CE²=DE²，
∴m²+$\frac{1}{4}$m²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²，
∴m=$\frac{5}{4}$，
∴E（$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{8}$），
Ⅱ、当CE=CD时，即：CE²=CD²，
∴m²+$\frac{1}{4}$m²=$\frac{25}{4}$，
∴m=$\sqrt{5}$或m=-$\sqrt{5}$（舍），
∴E（$\sqrt{5}$，$\frac{4-\sqrt{5}}{2}$）
Ⅲ、当DE=CD时，即：CD²=DE²
∴（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²=$\frac{25}{4}$，
∴m=4或m=0（舍），
∴E（4，0），
②设出点E的横坐标为a，
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤a≤4），
∴S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF
=$\frac{1}{2}$BD×OC+$\frac{1}{2}$EF×CM+$\frac{1}{2}$EF×BN
=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a）
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，
∴当a=2时，S_{四边形CDBF}的最大值为$\frac{13}{2}$，此时E（2，1）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．