Question

如图，已知△ABC的面积S_△ABC=1．
在图1中，若

AA1

AB

=

BB1

BC

=

CC1

CA

=

1

2

，则S_△A1B1C1=

1

4

；
在图2中，若

AA2

AB

=

BB2

BC

=

CC2

CA

=

1

3

，则S_△A2B2C2=

1

3

；
在图3中，若

AA3

AB

=

BB3

BC

=

CC3

CA

=

1

4

，则S_△A3B3C3=

7

16

；
按此规律，若

AA8

AB

=

BB8

BC

=

CC8

CA

=

1

9

，S_△A8B8C8=

 

．

Answer 1

分析：根据图的特点，找出图中的相似三角形，求出其相似比，根据面积比等于相似比的平方找出规律解答．

解答：
解：对图（2）进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从A₂开始，逆时针为A₃、B₃、C₃，
可以得到△A₃BB₂∽△ABC，
且面积比为(

1

3

)2=

1

9

，也就可以得到S_△A3BB2=

1

9

S_△ABC，而△A₂A₃B₂和△A₃BB₂同底等高，面积相等，
所以，S_△A2BB2=

2

9

S_△ABC，同样道理，可得到，S_△B2C2C=

2

9

S_△ABC，S_△AA2C2=

2

9

S_△ABC，
那么S_△A2B2C3=（1-

6

9

）S_△ABC=

1

3

S_△ABC．
根据上述分析可以得到，如果An-1是AB的n等分点，Bn-1是BC的n等分点，Cn-1是AC的n等分点，
那么S_{△An-1Bn-1Cn-1}=1-(

1

n

)2×3×(n-1)=1-

3(n-1)

n2

，当n=9时，则S_△A8B8C8=1-

3(9-1)

81

=

19

27

．

点评：此题运用了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，还用到了等底等高的三角形面积相等的知识．