Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．

（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．

Answer 1

分析 （1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；
②如图①中，连接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解决问题；
（2）由△A′DF∽△A′D′C，可得$\frac{A′D}{A′D′}$=$\frac{DF}{CD′}$，推出DF=$\frac{3}{2}$，同理可得△CDE∽△CB′A′，由$\frac{CD}{CB′}$=$\frac{ED}{A′B′}$，求出DE，即可解决问题；
（3）如图③中，作FG⊥CB′于G，由S_△ACF=$\frac{1}{2}$•AC•CF=$\frac{1}{2}$•AF•CD，把问题转化为求AF•CD，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD∽△FAC，即可解决问题；

解答 解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，
∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，
∵α=60°，
∴∠DCD′=60°，
∴△CDD′是等边三角形，
∴DD′=CD=3．
②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，
∴△CDF≌△CD′F，
∴∠DCF=∠D′CF=$\frac{1}{2}$∠DCD′=30°，
在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF=$\frac{D′F}{CD′}$，
∴D′F=$\sqrt{3}$，
∴A′F=A′D′-D′F=4-$\sqrt{3}$．

（2）如图②中，
在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，
∴A′C²=A′D′²+CD′²，
∴A′C=5，A′D=2，
∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，
∴△A′DF∽△A′D′C，
∴$\frac{A′D}{A′D′}$=$\frac{DF}{CD′}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{DF}{3}$，
∴DF=$\frac{3}{2}$，
同理可得△CDE∽△CB′A′，
∴$\frac{CD}{CB′}$=$\frac{ED}{A′B′}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{ED}{3}$，
∴ED=$\frac{9}{4}$，
∴EF=ED+DF=$\frac{15}{4}$．

（3）如图③中，作FG⊥CB′于G．，
∵四边形A′B′CD′是矩形，
∴GF=CD′=CD=3，
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$•EF•DC=$\frac{1}{2}$•CE•FG，
∴CE=EF，∵AE=EF，
∴AE=EF=CE，
∴∠ACF=90°，
∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，
∴△CAD∽△FAC，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AF，
∴AF=$\frac{25}{4}$，
∵S_△ACF=$\frac{1}{2}$•AC•CF=$\frac{1}{2}$•AF•CD，
∴AC•CF=AF•CD=$\frac{75}{4}$．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、面积法等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．