Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④：＝1：4．其中正确的结论有（　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由正方形的性质得到FG=BE=2，∠FGB=90°，AD=4，AH=2，∠BAD=90°，求得∠HAN=∠FGN，AH=FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN=∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN=AG=1，根据相似三角形的性质得到∠AHN=∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK=∠AMG，根据直角三角形的性质得到FN=2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM=AG=2，根据三角形的面积公式即可得到结论．

∵四边形EFGB是正方形，EB=2，
∴FG=BE=2，∠FGB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD=4，AH=2，
∠BAD=90°，
∴∠HAN=∠FGN，AH=FG，
∵∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN=∠HFG，
∵AG=FG=2=AH，
∴AF=FG=AH，
∴∠AFH≠∠AHF，

∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN=AG=1，
∵GM=BC=4，
∴=2，
∵∠HAN=∠AGM=90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN=∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK=∠AMG，
∴∠AHK=∠HAK，
∴AK=HK，
∴AK=HK=NK，
∵FN=HN，
∴FN=2NK；故③正确；
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM=AG=2，
∵S△AFN=ANFG=×2×1=1，S△ADM=ADDM=×4×2=4，
∴S△AFN：S△ADM=1：4故④正确，
故选：C．